Alhamdulillah.
Sah puasanya orang yang berjimak dengan isterinya pada malam hari, lalu dia dalam keadaan junub hingga pagi. Demikian pula sah orang yang mengalami junub saat tidur di malam hari atau siang hari. Tidak mengapa baginya menunda mandi hingga menjelang shalat Fajar. Yang membatalkan puasa adalah berjimak di siang hari Ramadan sejak terbit fajar hingga matahari terbenam.
Fatawa Lajnah Daimah, 10/327
Adapun tindakan anda yang menunda shalat Fajar hingga matahari terbit adalah tindakan yang diharamkan. Anda wajib menunaikan shalat pada waktunya. Rasa malu anda yang sangat dari mandi, bukan uzur yang membolehkan anda untuk menunda shalat hingga keluar waktu. Anda wajib bertaubat dan istighfar.
Semoga Allah memberikan taufiq-Nya kepada kita sekalian.