الحمدلله.
اولا:
سندرم داون یک بیماری ژنتیکی است که کودکان دچار آن می‌شوند و منجر به اختلال در توانایی‌های ذهنی و بدنی می‌شود. از نشانه‌های ظاهری این سندرم تنگ بودن چشمان، کوتاهی گردن و دستان و شُلی عضلات است.
ثانیا:
برای وجوب روزه، داشتن عقل شرط است زیرا پیامبر ـ صلی الله علیه وسلم ـ می‌فرماید: قلم از سه تن برداشته شده: از دیوانه‌ای که عقلش مغلوب است تا آنکه به هوش آید و از خوابیده تا بیدار شود و از کودک تا آنکه بالغ گردد به روایت ابوداوود (۴۳۹۹) و آلبانی در صحیح سنن ابی داوود آن را صحیح دانسته است.
اگر خواهر شما تا به حدی از اختلال ذهنی رسیده که قادر به تمییز نیست و متوجه خطاب و امر شرع نمی‌شود در این حالت نه روزه و نه قضا بر وی واجب نیست و برای شما هم لازم نیست که به جایش فدیه دهید زیرا ایشان در اصل مکلف نیستند.
شیخ ابن عثیمین ـ رحمه الله ـ در الشرح الممتع (۶/ ۳۲۴) می‌گوید: هر کس که از قدرت عقلی برخوردار نیست مکلف نیست و هیچ یک از واجبات دینی از جمله نماز و روزه و غذا دادن به جای روزه بر او واجب نیست. یعنی اطلاقا چیزی بر او واجب نیست مگر آنچه استثنا شده مانند واجبات مالی.
والله اعلم